9.7.2019 - keine Kommentare

Berechnung des Unberechenbaren: Schach und die menschliche Kognition

Geschrieben von Christoph Fleischer

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Schach ist so kompliziert, dass nicht einmal die schnellsten Computer der Welt eine Chance haben, alle möglichen Zugfolgen zu berechnen. Trotzdem ist das Spiel von Menschen gar nicht so schlecht. Wie ist das möglich?

Im Jahr 1950 veröffentlichte der Mathematiker Claude Shannon einen wissenschaftlichen Artikel mit dem Titel „Programming a Computer for Playing Chess“. Darin argumentierte er, dass es unmöglich sei, Schach durch eine „Brute force“-Methode zu lösen. Diese beschreibt einen Lösungsansatz, bei dem alle potentiellen Spielfortsetzungen ausprobiert werden, um im Nachhinein die ideale Lösung identifizieren zu können, analog zum Versuch, ein Zahlenschloss durch bloßes Ausprobieren aller Kombinationen zu knacken. Sind erst einmal alle Möglichkeiten durchgespielt, liegt die beste Lösung vor. Diesem Vorteil der Brute-force-Methode steht der häufige Nachteil eine enorme Rechenleistung zu benötigen gegenüber.

IDEEN
KOMPRIMIERT
1 Menschen sind nicht in der Lage sämtliche Kombinationen während eines Schachspiels zu berücksichtigen, um so den besten Zug auszuwählen.
2 Kategorien können benutzt werden um Stellungen zu bewerten. Bessere Kategorien können identifiziert werden, indem sie Menschen erlauben gegen andere zu gewinnen, die schlechtere benutzen.
3 Pläne leiten menschliche Bewertung von Schachstellungen, in dem sie die Analyse sinnvollen und selektiven Spielfortsetzungen ermöglichen.

Shannon schätzte die Menge an möglichen Schachspielen auf 10120. Zur Annäherung waren Vereinfachungen nötig, die einerseits manche illegalen Stellungen zuließen, andererseits jedoch auch legale Spielbäume ausschlossen.. Illegal sind beispielsweise Stellungen, in denen weiße Bauern auf der ersten, bzw. schwarze Bauern auf der achten Reihe stehen. Das ist während einer normalen Schachpartie nicht möglich, da Bauern nicht rückwärts gezogen werden können, und ihre Startposition die zweite bzw. siebte Reihe ist, je nachdem ob es sich um weiße oder schwarze Bauern handelt. Gleichzeitig wurden jedoch auch Spielbäume ignoriert, in denen Bauern das jeweils gegenüberliegende Ende des Spielfeldes erreicht hätten und anschließend in eine beliebige Figur ausgetauscht werden können. Shannon ging davon aus, dass sich diese Vereinfachungen ungefähr ausgleichen und keinen allzu großen Einfluss auf die geschätzte Gesamtzahl an möglichen Schachpartien haben sollten. Für die Anzahl an unterschiedlichen Stellungen gab Shannon 1043 an. Obwohl seine Schätzungen die ersten ihrer Art sind, stimmt die Größenordnung mit späteren Schätzungen überein.

Zahlen wie diese sind so enorm rießig, dass jede Form von Vorstellung oder Veranschaulichung auf der Strecke bleiben muss. Bei solchen Größenordnungen wird das Reich der reinen Abstraktion betreten. Um dennoch wenigstens ein vages Gefühl für den Grad an Komplexität zu bekommen, sind in der folgenden Tabelle die Anzahl an möglichen Spielen zu den jweils ersten zehn Spielzügen angegeben. „Zug“ bedeutet in diesem Fall, dass einer der beiden Spieler zieht. Nach insgesamt zehn Zügen, haben also beide Spieler fünf Spielsteine bewegt. Es ergibt sich folgendes:

ZugMögliche Spiele
120
2400
38.902
4197.281
54.865.609
6119.060.324
73.195.901.860
884.998.978.956
92.439.530.234.167
1069.352.859.712.417

Eine jungfräuliche Schachpartie wird durch den weißen Spieler eröffnet. Ihm stehen 20 legale Züge zur Verfügung. Er kann mit jedem seiner acht Bauern entweder ein oder zwei Felder nach vorne gehen, und er kann jeden seiner Springer auf zwei Arten ins Spiel bringen. Nach dem ersten Zug hat der schwarze Spieler genau dieselbe Menge an Antworten. Damit sind nach dem ersten Zug beider Spieler bereits 20 mal 20, also insgesamt 400, Partien möglich. Ab diesem Punkt wird es schnell unübersichtlich. Wenn der weiße Spieler zum zweiten mal gezogen hat, wächst der Spielbaum bereits auf 8.902 Zweige. Nachdem beide Spieler fünf Mal am Zug waren, hätte es schon 69.352.859.712.417 distinkte mögliche Spiele geben können.

Auch wenn das Vorurteil, dass die besten Spieler der Welt ein ausgezeichnetes Gedächtnis für einzelne Stellungen haben, absolut korrekt ist, wird jeder angesichts dieser Zahlen einsehen, dass das alleinige Abrufen von früher Gelerntem nicht ausreicht, um sich im Dschungel der verschiedenen Varianten zurechtzufinden. Menschen sind nicht in der Lage, sich eine solche Komplexität einfach zu merken, und nicht einmal Computer könnten sie durchzurechnen. Obwohl sich die Hardware seit Shannons Zeiten drastisch verbessert hat, bleibt diese Aussage unverändert wahr. Selbst für heutige Supercomputer wäre die Aufgabe Schach komplett durchzurechnen, wenig mehr als eine äußerst unproduktive Stromverschwendung. Shannons Schätzung hatte die Existenz von 10120 möglichen Schachspielen zum Ergebnis, wohingegen moderne Kosmologen die Zahl an Atomen im beobachtbaren Universum auf gerade einmal mickrige 1080 schätzen – Schach beschreibt seinen ganz eigenen Kosmos!

Schach ist ein Optimierungsproblem

Auf seine fundamentale Spielmechanik heruntergebrochen beschreibt Schach im Wesentlichen ein Optimierungsproblem. Die Überlegung ist folgende: Beim Versuch, eine beliebige Schachstellung zu analysieren, wird man bemerken, dass jede Figur in Bezug auf alle anderen Figuren auf dem Brett bestimmte Funktionen erfüllt. So kann beispielsweise über einen Springer in einer entsprechenden Stellung gesagt werden, dass er einerseits einen bestimmten Bauer vor einem Angriff verteidigt, und andererseits ein weiteres Feld bewacht, sodass kein feindlicher Spielstein dort landen kann. In Anbetracht der Tatsache, dass ein Springer, der sich nicht am Rand des Spielfeldes befindet, acht potentielle Züge hat, ist anzunehmen, dass er mindestens acht verschiedene Funktionen erfüllen kann. Um welche Funktionen es sich dabei handelt, ist von anderen Spielsteinen auf dem Brett abhängig. Geht man also davon aus, dass die Funktionen, die eine Figur erfüllt, sie im Wesentlichen bestimmen, kann man entsprechend sagen, dass jede Figur durch ihr Verhältnis zu allen anderen Figuren bestimmt ist. Deswegen ist auch jede Schachstellung ein Unikat und mit jedem gespielten Zug verändert sich die Dynamik der Stellung.

Da es beim Schach Bedingungen für einen Spielgewinn gibt, gibt es automatisch auch Bedingungen für das Verlieren einer Partie. Diese interne Normativität sorgt dafür, dass die Funktionen einer Figur einen konkreten „Wert“ bekommen. Dieser Wert ist umso positiver einzuschätzen, je mehr er dazu beiträgt das Verlieren des Spiels abzuwenden und zu einem Sieg beizutragen. Schach ist grundsätzlich ein sehr faires Spiel, in dem Sinn, dass die Spieler abwechselnd ziehen und über perfekte Information verfügen. Es gibt keine versteckten Parameter, wie beispielsweise im Poker. Vorteile können entsprechend erspielt werden, wenn ein Spieler die Funktionen einer Figur so verändert, dass sie stärker zu einem Sieg beitragen, als die Züge des Gegners. Im Schach gewinnt derjenige, der bessere Investitionen in die Funktionen seiner Figuren in Form von Zügen setzt.

Aus dem Gesagten wird klar, dass Schach nicht nur wegen seiner enormen Anzahl an Stellungen ein verhältnismäßig komplexes Spiel ist. Durch die Funktionsmechanik legt sich über jede Stellung eine Matrix, die in praktisch beliebig vielen Kategorien beschrieben werden kann. Damit wird Schach prinzipiell noch einmal komplexer, jedoch besteht genau darin auch die Möglichkeit, Ordnung in dieses Chaos zu bringen.

Schach ist ein Planspiel

Nun stellt sich die eigentlich interessante Frage mit Hinblick auf das Schachspiel: Wie können Menschen – mit ihrer zugegebenermaßen begrenzten Rechenleistung – überhaupt sinnvoll ein dermaßen komplexes Spiel spielen? Wenn man sich die enormen Zahlen von weiter oben vergegenwärtigt, ist es nicht naiv anzunehmen, dass Menschen lediglich mehr oder weniger zufällige Züge spielen können. Vielleicht wird Schach in 100 Jahren mit ganz anderen Strategien gespielt und entsprechendes lässt sich für einen zukünftigen Computer spekulieren.

Die Antwort lautet: Pläne. Das besondere an Plänen ist ihre teleologische Struktur, das bedeutet, dass Pläne immer auf ein Ziel gerichtet sind. Nehmen wir zum Beispiel den Plan, etwas zu essen: Er richtet sich darauf, ein Ziel in Form eines bestimmten Sachverhaltes zu erreichen. Ist dieses Ziel einmal formuliert, kann davon ausgehend der Weg zu seiner Erfüllung rückwärtig konstruiert werden: Wenn ich etwas essen möchte, dann benötige ich Lebensmittel zur Zubereitung, also muss ich in den Supermarkt, also brauche ich eine Tragetasche und Geld, also muss ich vorher zur Bank, also muss ich mich duschen und anziehen, also muss ich aus dem Bett aufstehen. Es lässt sich schnell erkennen mit welcher Leichtigkeit Menschen in der Lage sind, solche durchaus komplexen kognitiven Operationen präzise auszuformulieren.

Im Schach sehen die Pläne etwas anders aus, wie etwa: „Schaffe es einen Springer auf ein bestimmtes Feld tief im feindlichen Lager zu bringen, von wo aus er nicht mehr durch einen Bauern angegriffen werden kann.“ Ein anderer könnte lauten: „Kontrolliere die einzige offene Reihe indem beide Türme auf dieser Verdoppelt werden.“ Während Funktionsmatrizen einer Stellung Einheit verleihen, erfüllen Pläne eine analoge Aufgabe beim Verbinden verschiedener Stellungen.

Ein einmal formulierter Plan versetzt einen Spieler in die Lage, sinnvolle Vereinfachungen vorzunehmen. Relevant sind nicht mehr alle möglichen Züge, oder alle vorhandenen Funktionen innerhalb einer Stellung, sondern nur noch diejenigen, die eine Rolle für die Umsetzung oder das Scheitern des Plans spielen. Stellt ein Spieler bei der Analyse einer Stellung fest, dass ein bestimmter Plan nicht umgesetzt werden kann, wird er versuchen einen neuen zu suchen. Das ist in der Praxis des Schachspiels einer der häufigeren Gründe für auffällig langes Nachdenken während einer Partie.

Die teleologische Struktur eines Plans ermöglicht es, zahlenmäßig komplexe Systeme für die menschliche Analysefähigkeit nutzbar zu machen. Diese Form des Denkens ist dem Menschen intuitiv. Einzelne Züge werden nur noch auf ihre Tauglichkeit hinsichtlich der Erreichung eines ultimativen Ziels überprüft. Die teleologische Struktur macht Schach für Menschen sinnvoll spielbar.

Die Spreu trennt sich beim Schach bei der Qualität der Pläne vom Weizen. Entsprechend lassen sich gute und schlechte Spieler anhand ihrer ausformulierten und umgesetzten Pläne unterscheiden. Wie hoch der Wert eines Plans einzustufen ist, wird mittels seines Beitrags zum Spielgewinn evaluiert. Das führt zu einem zweiten wichtigen Aspekt von Plänen: Sie machen Schach verständlich. Dank Plänen können verschiedene Menschen sinnvoll über einzelne Partien und Stellungen reden. Entsprechend legen Spieler, die ein Spiel im Nachgang analysieren, ihr Augenmerk häufig auf die Pläne, die von beiden Seiten verfolgt wurden. Dies ermöglicht es einen Diskurs aufzubauen und Pläne als Schach-Ideen zu diskutieren. Entsprechend sind Pläne nicht nur die Grundlage einer für Menschen verständlichen Sinnstruktur im Schachspiel, sondern auch für das Verbessern des menschlichen Verständnisses von Schach im Allgemeinen: Dank Plänen und dem Diskurs, der um sie herum entsteht, wird jede neue Generation von Schachspielern stärker, da sie das Rad nicht mehr neu erfinden müssen.

Schach ist pragmatisch

Schach ist kein bloßes Rätsellösen, insbesondere wenn zwei Menschen gegeneinander spielen. Psychologische Faktoren spielen ebenso eine Rolle, wie die Zeit, die zum Nachdenken zur Verfügung steht. In der Regel wird mit einer Uhr gespielt, die jedem Spieler ein bestimmtes Zeitkontingent zuspricht, das über den Gesamtverlauf der Partie beliebig aufgeteilt werden kann. Züge müssen entsprechend immer auch in Bezug auf die Dauer zur Entscheidungsfindung bewertet werden. Eine schlechte Zeiteinteilung führt mitunter zu prekären Situationen, in denen Spielern entscheidende Fehler unterlaufen.

Der Aspekt der Psychologie sollte also nicht unterschätzt werden: Zum einen ist es so, dass mit fortschreitender Spieldauer auch die Konzentrationsfähigkeit der Spieler abnimmt, worunter die Genauigkeit der Analyse leidet. Zum anderen darf das Temperament der Spieler und ihre damit verbundene Spielweise nicht außer Acht gelassen werden. Das stellt selbst unter den besten Spielern der Welt einen wahrnehmbaren Faktor dar, wird jedoch umso gewichtiger je näher man dem Amateurbereich kommt, da hier Spieler wetteifern, die noch nicht alle Aspekte des Schachs gleichermaßen perfektioniert haben. Gerade in Situationen in denen ein Spiel in verschiedene Richtungen weitergehen kann, werden sich die verschiedenen Temperamente zeigen. Aggressive Spieler spielen beispielsweise auf komplexe Stellungen mit viel Angriffspotential hin, während defensive Spieler gegenteilige Pläne verfolgen, die eher darauf abzielen, eine Partie durch die Akkumulation zahlreicher minimaler Vorteile für sich zu entscheiden.

Der Schachweltmeister Garry Kasparov hat Schach als vier-dimensionales Spiel aufgefasst. Diese sind: Material, Position, Tempo und Zeit. Eine Partie kann über jede einzelne dieser Dimensionen gewonnen und verloren werden, entsprechend muss stets auf alle geachtet werden. Durch Material zu gewinnen ist der einfachste Fall. Wenn man alle gegnerischen Figuren geschlagen und selbst noch einige übrig hat, sollte es nicht weiter schwerfallen die Partie für sich zu entscheiden. Jedoch ist mehr oder qualitativ wertigere Figuren zu haben nicht alles, denn die Position der einzelnen Spielsteine spielt ebenfalls eine wesentliche Rolle. Im Schach sollte man stets bereit sein, die wertvolle Dame für einen entscheidungsforcierenden Angriff zu opfern. Wen interessiert es mehr Figuren zu haben, wenn er gerade Matt gesetzt wurde? Tempo ist eine besonders interessante Dimension. Wie weiter oben bereits erwähnt wurde, haben beim Schach beide Spieler gleich viele Züge. Doch manche Züge sind so bedrohlich, dass ein Spieler sie nicht ignorieren kann und seinerseits zu einem bestimmten Zug gezwungen ist. Entsprechend kann man beim Schach zusätzliche – oder „kostenlose“ – Züge gewinnen. Ist ein Spieler in der Lage, ein paar kostenlose Züge für sich zu gewinnen, sind seine Siegesschancen drastisch erhöht. Zuletzt spricht Kasparov noch die Zeit an, die zum Überlegen zur Verfügung steht. Wenn man weniger Zeit, als der Gegner eingesetzt hat, bleibt einem immer die Möglichkeit für eine längere Zeit über eine gegebene Stellung nachzudenken um so einen entscheidende Spielfortsetzung zu finden.

In diesem Sinne ist Schach ein verhältnismäßig pragmatisches Spiel. Stellungen werden zwar auf logischer Ebene durch Pläne analysiert, jedoch können gleichzeitig äußere Faktoren wie die menschliche Psychologie und die zeitliche Begrenzung des Spiels nicht außer Acht gelassen werden. Schachspielen ist wie mit dem Auto durch dichten Nebel zu fahren: Es sind immer nur die nächsten paar Meter zu sehen, und eine bessere Möglichkeit, als sich Stück für Stück voran zu bewegen und wieder mit derselben Situation konfrontiert zu sein, gibt es nicht.

Wenn irgendwas nicht klar war, oder generelle Fragen bestehen, freue ich mich auf die entsprechenden Kommentare zu diesem Artikel. Ich hoffe, dass das Lesen so viel Spaß gemacht hat, wie das Schreiben. Jegliche hilfreiche Kritik ist in den Kommentaren willkommen. Der nächste Artikel dieser Serie wird sich mit der Art beschäftigen, wie Computer Schach spielen.

Christoph Fleischer

hat Philosophie und Literatur in Heidelberg und Berlin studiert. Seine Hauptinteressen liegen im Bereich der Anthropologie und Metaphysik, wo er sich Fragen im Spannungsfeld von Naturwissenschaft, Technologie, Kultur und Religion widmet. Er bespielt dieses Magazin sowie den zugehörigen Youtube-Channel und Podcast.

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